Question

3．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[π，2π]，若以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，曲線C₂的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}（{ρ＞0，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]}）$，那么C₁上的點到曲線C₂上的點的距離的最小值為$2\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[π，2π]，利用cos²θ+sin²θ=1即可化為直角坐標方程．曲線C₂的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}（{ρ＞0，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]}）$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得到直角坐標方程．即可得出C₁上的點到曲線C₂上的點的距離的最小值．

解答 解：曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[π，2π]，化為（x+4）²+y²=1，可得圓心C₁（-4，0），半徑r=1．
曲線C₂的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}（{ρ＞0，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]}）$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
∴y+x-2=0．（x，y≥0）．
∴C₁上的點到曲線C₂上的點的距離的最小值d=$\sqrt{（-4）^{2}+{2}^{2}}$-1=2$\sqrt{5}$-1．
故答案為：$2\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間的距離公式，考查了數(shù)形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．