Question

 

（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的一半．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若A、B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P（4，0），滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合

          P ．由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為 ，平方后再整理，得．可以驗(yàn)證，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 

又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理  在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng) 

設(shè)Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因?yàn)?i>R是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得－10=0

整理得  x²+y²=56,這就是所求的軌跡方程