Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA₁．
（1）求證：BB₁⊥平面ABC；
（2）求多面體DBC-A₁B₁C₁的體積；
（3）求二面角C-DA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證BB₁⊥平面ABC，必須證明BB₁⊥平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，AB、CD即可，可用幾何法證明．
（2）多面體DBC-A₁B₁C₁是不規(guī)則幾何體，其體積不易直接求．將其轉(zhuǎn)化為三棱柱ABC-A₁B₁C₁與三棱錐A₁-ADC體積之差．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出CDA₁ 與DA₁C₁的法向量

n1

，

n2

，利用二面角C-DA₁-C₁的平面角與

n1，

n2

的夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系去解決．

解答：解：（1）證明：
∵AC=PC，D為AB的中點(diǎn)．∴CD⊥AB
又∵CD⊥DA，∴CD⊥平面ABB₁A₁∴CD⊥BB₁
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D
∴BB₁⊥面ABC．
（2）V_{多面體DBC-A1B1C1=}V_{棱柱ABC-A1B1C1}-V棱錐_A1-ABC
=S_△ABC•AA₁-

1

3

S_△ADC•AA1
=S_△ABC•AA₁-

1

3

×

1

2

S_△ABC•AA1
=

5

6

S_△ABC•AA_1
=

10

3

（3）以 C為原點(diǎn)，分別以

CB

 ，   

CC1

，

CA

所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
則C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C₁（0，2，0），A₁（0，2，2）∴D（1，0，1）
設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)是面CDA₁的一個(gè)法向量，
則由

n1 • CD =0 n1 • CA1 =0

得

x1+z1=0 2y1+2z1=0

可取

n1

=（1，1，-1）
同理設(shè)

n2

=(x2，y2，z2)是面DA₁C₁的一個(gè)法向量，
且

C1D

=（1，-2，1）

C1A1

=（0，0，2）
則由

n2 • C1 D =0 n2 • C1A1  =0

 
得

x2- 2y2+z2=0 2z2=0

取

n2=

(2，1，0 )
∴cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 |×| n2 |

|=

3

3 × 5

=

15

5

二面角C-DA₁-C₁為銳二面角，所以其平面角的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面位置關(guān)系及其判定，空間幾何體體積的計(jì)算，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法（間接法求體積，線線垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直）空間想象能力，計(jì)算能力．利用空間向量的知識(shí)，則使問題論證變成了代數(shù)運(yùn)算，使人們解決問題更加方便．