Question

18．如圖所示，已知圓O₁與圓O₂相交于A，B兩點，過點A作圓O₁的切線交圓O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交圓O₁，圓O₂于點D，E，DE與AC相交于點P．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若AD是圓O₂的切線，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的長．

Answer 1

分析 （1）連接AB，根據弦切角等于所夾弧所對的圓周角得到∠BAC=∠D，又根據同弧所對的圓周角相等得到∠BAC=∠E，等量代換得到∠D=∠E，根據內錯角相等得到兩直線平行即可；
（II）根據切割線定理得到AD²=DB•DE，利用AD是圓O₂的切線，AD²=DB•DE，由此即可求DB的長．

解答 （1）證明：連接AB，
∵AC是圓O₁的切線，∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC
（2）解：設PB=x，PE=y，
∵PA=3，PC=1，∴xy=3①，
∵AD∥EC，∴$\frac{AP}{PC}=\frac{DP}{PE}=3$，且DP=3y 
由AD是圓O₂的切線，∴AD²=DB•DE，∴6²=（3y-x）4y②
由①②可得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$，∴BD=3y-x=$\frac{9}{2}$

點評 此題是一道綜合題，要求學生靈活運用直線與圓相切和相交時的性質解決實際問題．本題的突破點是輔助線的連接．