Question

11．如圖，M、N、P分別是三角形ABC三邊BC、CA、AB上的點，且滿足$\frac{AP}{AB}=\frac{BM}{BC}=\frac{CN}{CA}=\frac{1}{4}$，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{MN}$；
（2）若點G是三角形MNP的重心，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AG}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義便可由條件及圖形便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{MN}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$；
（2）先得出$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow$，然后畫出圖形，并連接AG，MG，根據(jù)G為三角形MNP的重心便可得到$\overrightarrow{MG}=-\frac{5}{12}\overrightarrow{a}+\frac{1}{12}\overrightarrow$，從而根據(jù)$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MG}$便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AG}$．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$
=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$
=$\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
=$-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
=$-\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$；
（2）$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AP}$=$-\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow-\frac{3}{4}\overrightarrow+\frac{1}{4}\overrightarrow{a}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow$，如圖，連接AG，MG；
G為三角形MNP的重心，則：$\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}）$=$\frac{1}{3}（-\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow）$=$-\frac{5}{12}\overrightarrow{a}+\frac{1}{12}\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MG}$
=$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow-\frac{5}{12}\overrightarrow{a}+\frac{1}{12}\overrightarrow$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow$．

點評 考查向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及三角形重心的概念和性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則．