Question

函數(shù)f(x)=

x-1

x2+x+2

(x＞1)的值域是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：計算題

分析：先求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)值為零，找出單調區(qū)間，從而找到函數(shù)的最值，得出值域．

解答： 解：f′（x）=

x2+x+2-(x-1)(2x+1)

(x2+x+2)2

=

-x2+2x+3

(x2+x+2)2

=

-(x-3)(x+1)

(x2+x+2)2

（x＞1），
令f′（x）=0，解得：x=3，x=-1（舍），
∴x=3把定義域分成（1，3]和（3，+∞）兩部分，
在區(qū)間（1，3]上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
在區(qū)間（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（3）=

1

7

，
又∵x＞1，∴x-1＞0，而x²+x+2=(x+

1

2

)2+

7

4

＞0，
∴f（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的值域為：（0，

1

7

]，
故答案為：（0，

1

7

]．

點評：本題是一道求函數(shù)的值域的問題，求函數(shù)值域時有多重方法，利用求導是其中的一個．