Question

設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；

② 對(duì)任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．

（1）已知函數(shù)．求證：為曲線的“上夾線”．

（2）觀察下圖：

       根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

Answer 1

解：（1）由得，             

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，，

，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，，        

，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)；  

所以直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；

對(duì)任意x∈R，，

所以    

因此直線是曲線的“上夾線”.

   （2）推測(cè)：的“上夾線”的方程為

①先檢驗(yàn)直線與曲線相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)：

設(shè)：

 ，

令，得：（kZ）      

當(dāng)時(shí),

故：過曲線上的點(diǎn)（，）的切線方程為：

y－[]= [－（）]，

化簡得：.

即直線與曲線相切且有無數(shù)個(gè)切點(diǎn)．

不妨設(shè)

②下面檢驗(yàn)g（x）F（x）

g（x）－F（x）=

直線是曲線的“上夾線”．