Question

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝rx－x^r＋(1－r)(x＞0)，其中r為有理數(shù)，且0＜r＜1．求f(x)的最小值；

(Ⅱ)試用(Ⅰ)的結(jié)果證明如下命題：

設(shè)a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數(shù)．若b₁＋b₂＝1，則≤a₂b₂；

(Ⅲ)請將(Ⅱ)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題．

注：當(dāng)a為正有理數(shù)時，有求導(dǎo)公式＝ax^a－1．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)，令，解得． 　　當(dāng)時，，所以在內(nèi)是減函數(shù)； 　　當(dāng)時，，所以在內(nèi)是增函數(shù)． 　　故函數(shù)在處取得最小值． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)時，有，即① 　　若，中有一個為0，則成立； 　　若，均不為0，又，可得，于是 　　在①中令，，可得， 　　即，亦即． 　　綜上，對，，為正有理數(shù)且，總有．② 　　(Ⅲ)(Ⅱ)中命題的推廣形式為： 　　設(shè)為非負(fù)實數(shù)，為正有理數(shù)． 　　若，則．③ 　　用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： 　　(1)當(dāng)時，，有，③成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)時，③成立，即若為非負(fù)實數(shù)，為正有理數(shù)， 　　且，則． 　　當(dāng)時，已知為非負(fù)實數(shù)，為正有理數(shù)， 　　且，此時，即，于是 　　＝． 　　因，由歸納假設(shè)可得 　　， 　　從而． 　　又因，由②得 　　 　　， 　　從而． 　　故當(dāng)時，③成立． 　　由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)，所推廣的命題成立． 　　說明：(Ⅲ)中如果推廣形式中指出③式對成立，則后續(xù)證明中不需討論的情況．

提示：

本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，并結(jié)合推理，考察數(shù)學(xué)歸納法，對考生的歸納推理能力有較高要求．