Question

11．對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． -$\frac{3}{5}$＜a＜1
• B． -$\frac{3}{5}$＜a≤1
• C． -$\frac{3}{5}$≤a≤1
• D． -$\frac{3}{5}$≤a＜1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分2種情況討論：1°若a²-1=0，則a=±1，分別驗(yàn)證a=1或-1時(shí)，是否能保證該不等式滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
2°若a²-1≠0，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0為二次不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，解可得此時(shí)a的范圍，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分2種情況討論：
1°若a²-1=0，則a=±1，
當(dāng)a=1時(shí)，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0為：-1＜0，
滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則a=1滿足題意，
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0為：-2x＜0，
不滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則a=-1不滿足題意，
2°若a²-1≠0，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0為二次不等式，
要保證（a²-1）x²+（a-1）x-1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
必須有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{△{=（a-1）}^{2}+4{（a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，
解可得：-$\frac{3}{5}$＜a＜1，
綜合可得-$\frac{3}{5}$＜a≤1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，注意要討論二次項(xiàng)的系數(shù)．