Question

如圖所示幾何體是正方體截去三棱錐后所得，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1) 求證：平面平面；

(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，是等腰三角形，M為的中點(diǎn)，所以，同理，利用線面垂直的判定得平面，再利用面面垂直的判定得到平面平面；第二問(wèn)，利用向量法求二面角的余弦值，先根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面上點(diǎn)的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，根據(jù)公式求出平面的法向量，最后根據(jù)夾角公式求夾角的余弦值.

試題解析：(1) 證明：因?yàn)閹缀误w是正方體截取三棱錐后所得，

.（6分）

(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

依題意知，，

有

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

有代入得，

設(shè)，有，平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角大小為，有，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為. （12分）

考點(diǎn)：線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法.