Question

已知橢圓C：x2+

y2

4

=1，過點(diǎn)M（0，3）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）若l與x軸相交于點(diǎn)N，且A是MN的中點(diǎn)，求直線l的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且

OA

+

OB

=λ

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求當(dāng)|AB|＜

3

時(shí)，實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），因?yàn)锳為MN的中點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，進(jìn)而求得y_l，又根據(jù)點(diǎn)A在橢圓C上，
代入即可求得x₁，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可求．
（2）設(shè)直線AB的方程和點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出AB的長度，求得k的范圍，進(jìn)而根據(jù)

OA

+

OB

=λ

OP

可知（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），進(jìn)而分當(dāng)λ≠0和λ=0時(shí)根據(jù)k的范圍確定λ的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），
因?yàn)锳為MN的中點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，
所以y_l=

3

2

，
又因?yàn)辄c(diǎn)A（x_l，y_l）在橢圓C上，
所以x₁²+

y 2 1

4

=1，即

x

2 1

+

9

16

=1，解得x₁₌±

7

4

，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

7

4

，

3

2

）或（-

7

4

，

3

2

），
所以直線l的方程為6

7

x-7y+21=0或6

7

x+7y-21=0．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+3或x=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
當(dāng)AB的方程為x=0時(shí)，|AB|=4＞

3

，與題意不符．
當(dāng)AB的方程為y=kx+3時(shí)：
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組

y=kx+3 x2+ y2 4 =1

的解，
消去y得（4+k²）x²+6kx+5=0，
所以△=（6k）²-20（4+k²）＞0，即k²＞5，
則x₁+x₂=

-6k

4+k2

，x₁•x₂=

5

4+k2

，y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=

24

4+k2

因?yàn)閨AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

＜

3

，
所以

1+k2

•

( -6k 4+k2 )2- 20 4+k2

＜

3

，解得-

16

13

＜k²＜8
所以5＜k²＜8．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

OA

+

OB

=λ

OP

，即（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），
所以當(dāng)λ=0時(shí)，由

OA

+

OB

=0，得x₁+x₂=

-6k

4+k2

=0，y₁+y₂=

24

4+k2

=0，
上述方程無解，所以此時(shí)符合條件的直線l不存在；
當(dāng)λ≠0時(shí)，x₃=

x1+x2

λ

=-

-6k

λ(4+k2)

，y₃=

y1+y2

λ

=

24

λ(4+k2)

因?yàn)辄c(diǎn)P（x₃，y₃）在橢圓上，
所以[

-6k

λ(4+k2)

]²+

1

4

[

24

λ(4+k2)

]²=1化簡得λ²=

36

4+k2

，
因?yàn)?＜k²＜8，所以3＜λ²＜4，
則λ∈（-2，-

3

）∪（

3

，2）．
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-2，-

3

）∪（

3

，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系，解析幾何的知識(shí)，解不等式．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．