Question

設(shè)函數(shù).

   （1）在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；

   （2）設(shè)集合. 試判斷集合和 之間的關(guān)系，并給出證明；

   （3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的

        上方.

Answer 1

（1）見解析（2）（3）見解析

解析:

（1）

  

（2）方程的解分別是和，

        由于在和上單調(diào)遞減，

        在和上單調(diào)遞增，因此

        .

        由于.

   （3）[解法一] 當(dāng)時(shí)，.     

       ，

       . 又，

       ①  當(dāng)，即時(shí)，取，

       .

       ，  則.

       ②  當(dāng)，即時(shí)，取，    ＝.

       由 ①、②可知，當(dāng)時(shí)，，.

       因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

      [解法二] 當(dāng)時(shí)，.

由 得，

     令 ，解得 或，

在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn).

如圖可知，由于直線過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線是由直線

繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.