Question

（本題滿分15分）

   函數(shù)，其中。

   （1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

   （2）若對定義域內(nèi)的任意，都有，求的值；

   （3）設(shè)，。當(dāng)時，若存在，

使得，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）。由題設(shè)，在內(nèi)恒成立，或在內(nèi)恒成立。

        若，則，即恒成立，顯然在內(nèi)的最大值為，所以，。

        若，則，顯然該不等式在內(nèi)不恒成立。

        綜上，所求的取值范圍為。

   （2）由題意，是函數(shù)的最小值，也是極小值。因此，，解得。經(jīng)驗證，符合題意。

   （3）由（1）知，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增，因此，在上的最小值，最大值

        。

        ，由知，當(dāng)時，，因此，在上單調(diào)遞減，在上的最小值，最大值

        ，因，所以。

        ①若，即時，兩函數(shù)圖象在上有交點，此時

          顯然滿足題設(shè)條件。

        ②若，即時，的圖象在上，的圖象在下，只需，即，即，

          解得。

       綜上，所求實數(shù)的取值范圍為。

【解析】略