Question

【題目】如圖，橢圓： 的焦距與橢圓： 的短軸長(zhǎng)相等，且與的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等，這兩個(gè)橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)在軸正半軸上的頂點(diǎn)且與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直， 與的另一個(gè)交點(diǎn)為， 與交于， 兩點(diǎn).

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓： （）的焦距與橢圓： 的短軸長(zhǎng)相等，且與的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等，可得，所以，從而可得的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立兩橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系可得的斜率，由點(diǎn)斜式可得的方程為，直線方程分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式分別求出、，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）由題意可得所以

故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）聯(lián)立得

∴，∴，

易知，∴ 的方程為．

聯(lián)立得，∴ 或，

∴，

聯(lián)立得，

設(shè)， ，則， ，

∴，

故．