Question

12．若點(diǎn)G為△ABC的重心，且AG⊥BG，AB=2，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值為8．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接CG，并延長(zhǎng)交AB的中點(diǎn)D，從而可得出GD=1，進(jìn)而得出CD=3，DA=1，而$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}）$，這樣進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：如圖，連接CG，延長(zhǎng)交AB的中點(diǎn)于D；

又AG⊥BG；
∴GD=$\frac{1}{2}AB=1$；
∴CD=3，且DA=1；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}）•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}）$
=${\overrightarrow{CD}}^{2}-{\overrightarrow{DA}}^{2}$
=9-1
=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形重心的概念，直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，以及三角形重心的性質(zhì)，向量加法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算．