Question

對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，令[x]表示不大于x的最大整數(shù)，記f（x）=[x]，若a_n=f（

n

4

）（n∈N⁺），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S_4n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_4n=f（

4n

4

）=[

4n

4

]=n，從而能求出S_4n=4[0+1+2+…+（n-1）]+n=2n²-n．

解答： 解：∵f（x）=[x]，a_n=f（

n

4

）（n∈N⁺），
∴a₁=f（

1

4

）=[

1

4

]=0，
a₂=f（

2

4

）=[

2

4

]=0，
a₃=f（

3

4

）=[

3

4

]=0，
a₄=f（

4

4

）=[

4

4

]=1，
a₅=f（

5

4

）=[

5

4

]=1，
a₆=f（

6

4

）=[

6

4

]=1，
a₇=f（

7

4

）=[

7

4

]=1，
a8=f(

8

4

)=[

8

4

]=2，
…
a_4n=f（

4n

4

）=[

4n

4

]=n，
∴S_4n=4[0+1+2+…+（n-1）]+n=2n²-n．
故答案為：2n²-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推公式的合理運(yùn)用．