Question

已知雙曲線C：x2-

y2

2

=1，過點P（-1，-2）的直線交C于A，B兩點，且點P為線段AB的中點．
（1）求直線AB的方程；
（2）求弦長|AB|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）可先設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再分別代入雙曲線方程，作差即可求出直線斜率，進而可求直線方程．
（2）把（1）中所求直線方程代入雙曲線方程，利用根與系數關系，求x₁，x₂，再利用弦長公式求線段AB的長．

解答： 解（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2，y₁+y₂=-4，
由x12-

y12

2

=1，x22-

y22

2

=1作差得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-

1

2

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直線AB方程為y=x-1．
（2）把y=x-1代入x2-

y2

2

=1，消去y得x²+2x-3=0
∴x₁=1，x₂=-3，從而得|AB|=

1+1

•|x₁-x₂|=4

2

．

點評：本題考查點差法求中點弦方程以及弦長公式求弦長，考查學生的計算能力，屬于中檔題．