Question

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為，以為圓心橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與軸的交點(diǎn)分別為，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，試探究直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

利用橢圓性質(zhì)，求橢圓的方程；根據(jù)題中要求，先將直線QA,PA方程設(shè)出來(lái)，再與橢圓聯(lián)立方程，分別求出Q,P兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P,Q寫出直線方程l,然后分析它的定點(diǎn)問(wèn)題

解：（1）依題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則以點(diǎn)圓心，以為半徑的圓的方程為令得，由圓與軸的交點(diǎn)分別為，，

可得，解得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由得，可知的斜率存在且不為．

設(shè)直線①，則②．

將①代入橢圓方程并整理，得，可得，則

同理，可得，．

由直線方程的兩點(diǎn)式，得直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．