Question

已知函數(shù)

（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的 “凹函數(shù)”．試證當時，為“凹函數(shù)”．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）理解凹函數(shù)的定義 ，然后結(jié)合中點函數(shù)值與任意兩點的函數(shù)值和的關(guān)系式作差法加以證明。

【解析】

試題分析：解(1)由,得

函數(shù)為上單調(diào)函數(shù). 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù),則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.

令,上述問題等價于,而為在上的減函數(shù),則,于是為所求.

(2)證明:由得

 

而 ①

又, ∴ ②

∵  ∴,

∵ ∴ ③ 

由①、②、③得

即,從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)

考點：新定義和函數(shù)性質(zhì)的運用

點評：結(jié)合均值不等式的思想，以及函數(shù)的解析式來求解，屬于中檔題。