Question

19．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A'，連結(jié)EF，A'B．
（1）求異面直線(xiàn)A'D與EF所成角的大小；
（2）求三棱錐D-A'EF的體積．

Answer 1

分析 （1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，由線(xiàn)面垂直的判定可得A'D⊥平面A'EF．從而得到A'D⊥EF；
（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，可得A'E²+A'F²=EF²，則A'E⊥A'F，求出三角形A′EF的面積，結(jié)合（1）可知三棱錐D-A'EF的高A'D=2，代入棱錐體積公式求得三棱錐D-A'EF的體積．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵AD⊥AE，CD⊥CF，∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，
又A'E∩A'F=A'，A'E，A'F?平面A'EF，∴A'D⊥平面A'EF．
而EF?平面A'EF，∴A'D⊥EF，
∴異面直線(xiàn)A'D與EF所成角的大小為90°；
（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴在Rt△BEF中，BE=BF=1，得$EF=\sqrt{2}$，
而A'E=A'F=1，
∴A'E²+A'F²=EF²，則A'E⊥A'F，
∴${S_△}_{A'EF}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
由（1）得A'D⊥平面A'EF，且A'D=2，
∴${V_{D-A'EF}}=\frac{1}{3}{S_{△A'EF}}A'D=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，屬中檔題．