Question

9．已知如圖1矩形ABCD的長(zhǎng)AB=4，寬AD=3，將其沿對(duì)角線BD折起，得到四面體A-BCD，如圖2所示，給出下列結(jié)論：
①四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{72}{5}$；
②四面體A-BCD外接球的表面積恒為定值；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點(diǎn)，則恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④當(dāng)二面角A-BD-C為直二面角時(shí)，直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$；
其中正確的結(jié)論有②③④（請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 將矩形折疊后得到三棱錐，①四面體ABCD體積最大值為兩個(gè)面互相垂直求三棱錐的底面積和高計(jì)算；
②求出三棱錐的外接球半徑，計(jì)算表面積；
③連接AF，CF則AF=CF，連接DE，BE，得到DE=BE，利用等腰三角形的三線合一可得；
④當(dāng)二面角A-BD-C為直二面角時(shí)，以C為原點(diǎn)CB，CD所在直線分別為x，y軸建立坐標(biāo)系，借助于向量的數(shù)量積解答．

解答 解：對(duì)于①，由題意可得，當(dāng)平面CBD⊥平面ABD時(shí)，
直角三角形CBD的斜邊上的高就是四面體A-BCD的底面ABD上的高，為$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$．
此時(shí)，四面體A-BCD體積的體積最大，且體積的最大值為$\frac{1}{3}$•S_△ABD•$\frac{12}{5}$=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}×3×4$）×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，故①不正確．
對(duì)于②，三棱錐A-BCD外接球的直徑為BD=5，故半徑為$\frac{5}{2}$，所以三棱錐A-BCD外接球的表面積為4π×${（\frac{5}{2}）}^{2}$=25π，故②正確．
對(duì)于③，若E、F分別為棱AC、BD的中點(diǎn)，連接AF，CF則AF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一得到EF⊥AC；
連接DE，BE，容易判斷△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD，故③正確．
對(duì)于④，當(dāng)二面角A-BD-C為直二面角時(shí)，以C為原點(diǎn)CB，CD所在直線分別為x，y軸，則由向量的數(shù)量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面與立體幾何的關(guān)系，平面圖形的折疊問題，考查了三棱錐中線線關(guān)系，二面角以及三棱錐的外接球的表面積，較綜合，屬于中檔題．