Question

13．若f（x）是偶函數(shù)，定義域為{x∈R|x≠0}，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，又f（-2）=0，求滿足（x+1）f（x-1）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和偶函數(shù)的性質(zhì)畫出f（x）的單調(diào)性示意圖，根據(jù)圖象列出等價的不等式組，注意函數(shù)f（x）的定義域，求出不等式組的解集．

解答 解：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（-2）=0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖如圖所示：
由（x+1）f（x-1）＞0 可得，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{f（x-1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{f（x-1）＞0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x-1＜-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{-2＜x-1＜0或0＜x-1＜2}\end{array}\right.$，
解得x＜-1或-1＜x＜2且x≠1，
所以x的取值范圍是{x|x＜2且x≠1、x≠-1}．

點評 本題主要考查求函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．