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函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，并滿(mǎn)足如下條件：對(duì)于任意x∈R，有f(2＋x)=f(2－x)且f(7＋x)=f(7－x)，若f(0)=0，問(wèn)f(x)=0在[－100，100]上至少有幾個(gè)根？

 

答案：
提示：

由條件f(2＋x)=f(2－x)，以x－2代x得：f(x)=f(4－x)(1)；再由條件f(7＋x)=f(7－x) 遞推f(4－x)=f[7－(3＋x)]=f[7＋(3＋x)]=f(x＋10)，則f(x＋10)=f(x)(2)，即f(x)是以10為周期的函數(shù)．在(1)、(2)中令x=0，有f(4)=f(0)=0，f(10)=f(0)=0．即0，4，10均為f(x)=0的根；由周期性知10k(－10≤k≤10)，10k＋4(－10≤k≤9)(k∈Z)都是f(x)=0的根．因此f(x)=0在[－100，100]上至少有41個(gè)根．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1+b
（a，b為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=b=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時(shí)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)關(guān)于x的方程x2-mx-1=0有兩個(gè)實(shí)根α、β，且α＜β．定義函數(shù)f(x)=
2x-m
x2+1
.
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（α，β）上的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅲ）若λ，μ為正實(shí)數(shù)，證明不等式：|f(
λα+μβ
λ+μ
)-f(
μα+λβ
λ+μ
)| ＜ |α-β|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（任選一題）
①已知函數(shù)f（x）=x2-2，g（x）=xlnx，
（1）若對(duì)一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）試判斷方程ln(1+x2)-
12
f(x)-k=0有幾個(gè)實(shí)根．
②已知f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且定義在R上，對(duì)任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x2，試證明f（x）＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f(x)=
8-16|x-
3
2
|，(1≤x≤2)
1
2
f(
x
2
)，(x＞2)
，有下面五個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，8]；
③關(guān)于x的方程f（x）=(
1
2
)n-1（n∈N*）有2n+5個(gè)不同的實(shí)根；
④當(dāng)x∈[2n-1，2n]（n∈N*）時(shí)，f （x）的圖象與x軸圍成圖形的面積為4；
⑤存在實(shí)數(shù)x0，使x0f（x0）＞12成立．
其中正確命題是
②⑤
②⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ax+
2
x
+6，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）已知a=
3
4
，P1，P2是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)，若在點(diǎn)P1，P2處的兩條切線(xiàn)相互平行，求這兩條切線(xiàn)間距離的最大值；
（3）設(shè)定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=s（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線(xiàn)方程為l：y=t（x），當(dāng)x≠x0時(shí)，若
s(x)-t(x)
x-x0
＞0在D上恒成立，則稱(chēng)點(diǎn)P為函數(shù)y=s（x）的“好點(diǎn)”．試問(wèn)函數(shù)g（x）=x2f（x）是否存在“好點(diǎn)”．若存在，請(qǐng)求出所有“好點(diǎn)”坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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