Question

設(shè)集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x²-（2m+1）x+2m＜0}．
（1）當(dāng)m＜

1

2

時，化簡集合B；
（2）若A∪B=A，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若∁_RA∩B中只有一個整數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：交、并、補集的混合運算

專題：集合

分析：因式分解x²-（2m+1）x+2m＜0．
（1）直接由m＜

1

2

化簡集合B；
（2）由A∪B=A得B⊆A，然后分m＜

1

2

，m=

1

2

時，m＞

1

2

時三種情況討論求解實數(shù)m的取值范圍；
（3）把∁_RA∩B中只有一個整數(shù)，分m＜

1

2

，m=

1

2

時，m＞

1

2

時三種情況借助于兩集合端點值間的關(guān)系列不等式求解實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：由不等式x²-（2m+1）x+2m＜0，得（x-1）（x-2m）＜0．
（1）當(dāng)m＜

1

2

時，2m＜1，
∴集合B={x|2m＜x＜1}；
（2）若A∪B=A，則B⊆A，
∵A={x|-1≤x≤2}，
①當(dāng)m＜

1

2

時，B={x|2m＜x＜1}，此時-1≤2m＜1⇒
-

1

2

≤m＜

1

2

；
②當(dāng)m=

1

2

時，B=∅，有B⊆A成立；
③當(dāng)m＞

1

2

時，B={x|1＜x＜2m}，此時1＜2m≤2，得

1

2

＜m≤1；
綜上所述，所求m的取值范圍是-

1

2

≤m≤1．
（3）∵A={x|-1≤x≤2}，
∴∁_RA={x|x＜-1或x＞2}，
①當(dāng)m＜

1

2

時，B={x|2m＜x＜1}，
若∁_RA∩B中只有一個整數(shù)，則-3≤2m＜-2，得-

3

2

≤m＜-1；
②當(dāng)m=

1

2

時，不符合題意；
③當(dāng)m＞

1

2

時，B={x|1＜x＜2m}，若∁_RA∩B中只有一個整數(shù)，
則3＜2m≤4，∴

3

2

＜m≤2．
綜上知，m的取值范圍是-

3

2

≤m＜-1或

3

2

＜m≤2．

點評：在集合運算中，不等式的解集、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域問題，能解的先解出具體的實數(shù)范圍，再結(jié)合數(shù)軸進行集合的運算，若端點位置不定時，要注意對端點的位置進行討論求解，此題是中檔題．