Question

18．已知關于x的不等式mx²+2x+6m＞0，在下列條件下分別求m的值或取值范圍：
（1）不等式的解集為{x|2＜x＜3}；      
（2）不等式的解集為R．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式與它對應方程的關系，利用根與系數(shù)的關系，即可求出m的值；      
（2）根據(jù)一元二次不等式恒成立的條件，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：（1）∵關于x的不等式mx²+2x+6m＞0，
∴當不等式的解集為{x|2＜x＜3}時，
方程mx²+2x+6m=0的兩個實數(shù)根為2和3，
由根與系數(shù)的關系，得
2+3=-$\frac{2}{m}$，
解得m=-$\frac{2}{5}$；      
（2）當不等式的解集為R時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-2{4m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m＜-\frac{\sqrt{6}}{6}或m＞\frac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\right.$，
即m＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了一元二次不等式與對應方程關系的應用問題，也考查了不等式恒成立問題，是基礎題目．