Question

已知函數(shù)f(x)=ln

1

x

-x2+ax，a∈R．
（I）若函數(shù)f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（II）若函數(shù)f（x）存在極值，且所有極值之和大于5-ln

1

2

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）在定義域上是單調減函數(shù)，得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，進而可轉化為函數(shù)最值問題解決；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）存在極值，得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有零點，可轉化為方程f（x）=0在（0，+∞）上有根，
數(shù)形結合可得a滿足的條件，設出其根，把所有極值和用a表示出來，令其大于5-ln

1

2

，可解得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=-

1

x

-2x+a=-

2x2-ax+1

x

，
因為函數(shù)f（x）在定義域上是單調減函數(shù)，
所以f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）=-

2x2-ax+1

x

≤0，
所以2x²-ax+1≥0恒成立，
所以2x²+1≥ax，a≤

2x2+1

x

=2x+

1

x

，
又因為2x+

1

x

≥2

2

，當且僅當x=

2

2

時等號成立，
所以a≤2

2

．
（Ⅱ）因為函數(shù)f（x）存在極值，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有零點，
也就是函數(shù)g（x）=2x²-ax+1在（0，+∞）上有零點，
因為g（0）=1，所以

a 4 ＞0 △=a2-8＞0

，解得a＞2

2

．
此時g（x）=0有兩個正根，不妨設其兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=

a

2

，x₁x₂=

1

2

，
所以f（x₁）+f（x₂）=ln

1

x1

-x12+ax1+ln

1

x2

-x22+ax2
=ln

1

x1x2

-(x1+x2)2+2x₁x₂+a（x₁+x₂）
=ln2-

a2

4

+1+a•

a

2

=

a2

4

+ln2+1．
又因為ln2-

a2

4

+1+a•

a

2

=

a2

4

+ln2+1＞5-ln

1

2

，
所以a²＞16，解得a＞4．
所以a的取值范圍為（4，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)單調性與導數(shù)間的關系及函數(shù)取得極值的條件，考查數(shù)形結合思想，考查學生分析問題解決問題的能力．