Question

4．已知拋物線E：x²=4y，m，n是經(jīng)過點A（a，-1）且傾斜角互補的兩條直線，其中m與E有唯一公共點B，n與E相交于不同的兩點C，D
（Ⅰ）求m的斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）當n過E的焦點時，求B到n的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），代入拋物線方程，運用判別式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范圍；
（Ⅱ）k_AF=$\frac{-2}{a}$=-k，所以ak=2，確定B的坐標，再求出B到n的距離．

解答 解：（Ⅰ）m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），
分別代入x²=4y，得x²-4kx+4ka+4=0①，x²+4kx-4ka+4=0②，…（2分）
由△₁=0得k²-ka-1=0，
由△₂＞0得k²+ka-1＞0，…（4分）
故有2k²-2＞0，得k²＞1，即k＜-1或k＞1． …（6分）
（Ⅱ）F（0，1），k_AF=$\frac{-2}{a}$=-k，所以ak=2． …（8分）
由△₁=0得k²=ka+1=3，
B（2k，k²），所以B到n的距離d=$\frac{|3{k}^{2}-ak+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3{k}^{2}-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4   …（12分）

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運用判別式，考查運算化簡的能力，屬于中檔題．