Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），點(diǎn) 是曲線 上的一動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 的方程為 .
（Ⅰ）求線段 的中點(diǎn) 的軌跡的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求曲線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)線段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 （ 為參數(shù)），
消去參數(shù)得 的軌跡的直角坐標(biāo)方程為 ，
由互化公式可得
故答案為：點(diǎn) 的軌跡的極坐標(biāo)方程為 ．
（Ⅱ）由直線 的極坐標(biāo)方程為 ，得 ，
所以直線 的直角坐標(biāo)方程為 ，
曲線 的普通方程為 ，它表示以 為圓心，2為半徑的圓，
則圓心到直線 的距離為 ，所以直線 與圓相離，
故答案為：曲線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值為
【解析】（1）設(shè)OP的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y),用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將點(diǎn)M的坐標(biāo)表示為為參數(shù)的參數(shù)方程,先普通方程，再化為極坐標(biāo)方程.
（2）將直線l的極坐標(biāo)方程用公式化為普通方程，當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的點(diǎn)的距離最大值就是圓心到直線的距離加上半徑.