Question

在實數集R中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數排了一個“序”，類似的，我們在平面向量集D={

a

|

a

=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“＞＞”．定義如下：對于任意兩個向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），當且僅當“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”時，

a1

＞＞

a2

成立．按上述定義的關系“＞＞”，給出如下幾個命題：
①若

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），

0

=（0，0），則

e1

＞＞

e2

＞＞

0

；
②若

a1

＞＞

a2

，

a2

＞＞

a3

，則

a1

＞＞

a3

；
③若

a1

＞＞

a2

，則對于任意

a

∈D，

a1

+

a

＞＞

a2

+

a

；
其中真命題的序號為

 

．（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：根據已知中任意兩個向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），當且僅當“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”時，

a1

＞＞

a2

成立．逐一判斷四個結論的真假，可得答案．

解答： 解：∵任意兩個向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），當且僅當“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”時，

a1

＞＞

a2

成立．
∵若

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），

0

=（0，0），則

e1

》

e2

》

0

，故①正確；
（2）設

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a3

=（x₃，y₃），
由

a1

＞＞

a2

，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
由

a2

＞＞

a3

，得“x₂＞x₃”或“x₂=x₃且y₂＞y₃”
若“x₁＞x₂＞x₃”，則

a1

》

a3

；
若“x₁＞x₂”，且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，則“x₁＞x₃”，
所以

a1

＞＞

a3

若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂＞x₃”，
則x₁＞x₃，所以

a1

＞＞

a3

若“x₁=x₂且y₁＞y₂”且“x₂=x₃且y₂＞y₃”，
則x₁=x₃且y₁＞y₃，所以

a1

＞＞

a3

，
綜上所述，若

a1

＞＞

a2

，

a2

＞＞

a3

，則

a1

＞＞

a3

，所以②正確
（3）設

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a

=（x，y），則

a1

+

a

=（x₁+x，y₁+y），

a2

+

a

=（x₂+x，y₂+y），
由

a1

＞＞

a2

，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”
若x₁＞x₂，則x₁+x＞x₂+x，所以

a1

+

a

＞＞

a2

+

a

；
若x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂，則x₁+x=x₂+x且y₁+y＞y₂+y，所以

a1

+

a

＞＞

a2

+

a

；
綜上所述，若

a1

＞＞

a2

，則對于任意

a

∈D，

a1

+

a

＞＞

a2

+

a

；
所以③正確，
綜上所述，①②③正確，
故答案為：①②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了新定義“＞＞”．正確理解新定義“＞＞”的實質，是解答的關鍵．