Question

如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，

，．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

 

Answer 1

【答案】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，．證得，由四邊形為直角梯形，得到，證得平面．推出 ．

（2）直線與平面所成角的正弦值為．

【解析】

試題分析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050809112249053706/SYS201305080911483186551591_DA.files/image015.png">，所以            2分

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050809112249053706/SYS201305080911483186551591_DA.files/image006.png">為直角梯形，

，，

所以四邊形為正方形，所以．     4分

所以平面．   

所以 ．            6分        

（2）解法1：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050809112249053706/SYS201305080911483186551591_DA.files/image019.png">平面，且

所以BC⊥平面                          8分

則即為直線與平面所成的角               9分

設(shè)BC=a，則AB=2a，，所以

則直角三角形CBE中，          。11分

即直線與平面所成角的正弦值為．            。12分

解法2：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050809112249053706/SYS201305080911483186551591_DA.files/image019.png">平面，且 ，

所以平面，所以．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 因?yàn)槿�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050809112249053706/SYS201305080911483186551591_DA.files/image030.png">為等腰直角三角形，所以，設(shè)，

則．

所以 ，平面的一個法向量為．

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以 ，           

即直線與平面所成角的正弦值為．（參照解法1給步驟分）     12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計算。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離及體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題給出了兩種解法，便于比較借鑒。