Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓經(jīng)過，且右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)A，B為橢圓的左，右頂點(diǎn)，C為橢圓的上頂點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），直線AC與直線BP相交于點(diǎn)M，直線BC與直線AP相交于點(diǎn)N，求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓的定義，可得，又，結(jié)合，即得解

（2）設(shè)，分別表示直線的方程，聯(lián)立得到點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而證明，即直線斜率不存在，，即，可得為等腰三角形，即得證

（1）由題意，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，記

故

又

故橢圓的方程為：

（2）設(shè)，

故：

聯(lián)立計(jì)算可得：

由于

由于在橢圓上，故，即

故，即直線斜率不存在

令線段中點(diǎn)為

故

故

故為等腰三角形

即得證