Question

正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，棱AB∥平面α,則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是　　　　.

Answer 1

解析：如圖，當(dāng)四面體C—ABD繞AB進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)CD垂直于平面α時(shí)，此時(shí)在α內(nèi)的射影面積最小，等價(jià)于E在CD上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，設(shè)F為AB中點(diǎn)，EF⊥AB.此時(shí)EF為異面直線AB與CD的公垂線，是CD上點(diǎn)的到AB距離最短的點(diǎn)，EF=.∴=×1×=;當(dāng)CD∥α時(shí)，四面體ABCD的射影為A′C′B′D′為正方形，對(duì)角A′B′=C′D′=1,此時(shí)面積最大.?

∵1為高是最大的，∴S_{A′C′B′D′}=×1×1=.?

∴射影面積的取值范圍為［，］.

答案：［, ］.