Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）（c為常數）
（1）證明：是等差數列；
（2）若{a_n}是正數組成的數列，試給出不依賴于n的一個充分必要條件，使得數列是等差數列，并說明理由．
（3）問是否存在正整數p，q（p≠q）使a_p=a_q成立？若存在，請寫出c滿足的條件，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴，即
從而數列{ }是首項為1，公差為c的等差數列
（2）由（1）可得 =1+（n-1）c，即a_n=cn²+（1-c）n
是等差數列的充要條件是
即a²n²+2abn+b²=n²+（1-c）n
∴c=1
（3）若要使存在正整數p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），則c=（k∈N且k≥3）．
分析：（1）根據na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）化簡變形得 ，然后根據等差數列的定義進行判定即可；
（2）根據（1）求出a_n的通項公式，而是等差數列的充要條件是，然后化簡變形可求出c的值；
（3）若要使存在正整數p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，則p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值，注意p+q的范圍．
點評：本題主要考查了等差數列的判定，以及新數列是等差數列的充分不必要條件，同時考查了計算能力，屬于中檔題．