Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若數(shù)列{S_n}有唯一的最大項S₃，H_n=S₁+2S₂+3S₃+…+nS_n，則（　　）

• A． S₅•S₆＜0
• B． H₅•H₆＜0
• C． 數(shù)列{a_n}、{S_n}都是單調遞減數(shù)列
• D． H₆可能是數(shù)列{H_n}最大項

Answer 1

分析 由等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}有唯一的最大項S₃，可得：公差d＜0，a₁＞0，a₁，a₂，a₃＞0，a₄＜0．
A．由S₅=5a₃＞0，S₆=3（a₃+a₄）與0的大小關系不確定，即可判斷出正誤；
B．H₅=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅＞0，H₆=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅+6S₆，由A可知：S₆=3（a₃+a₄）與0的大小關系不確定，即可判斷出正誤．
C．數(shù)列{a_n}是單調遞減數(shù)列，而數(shù)列{S_n}在n≤3時單調遞增，n≥4時單調遞減．
D．由a₃+a₄與0的大小關系不確定即可判斷出結論．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}有唯一的最大項S₃，
∴公差d＜0，a₁＞0，a₁，a₂，a₃＞0，a₄＜0．
A．由S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=5a₃＞0，S₆=$\frac{6（{a}_{1}+{a}_{6}）}{2}$=3（a₃+a₄）與0的大小關系不確定，可知A不正確；
B．H₅=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅＞0，H₆=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅+6S₆，
由A可知：S₆=3（a₃+a₄）與0的大小關系不確定，H₅•H₆與0的大小關系也不確定，因此不正確．
C．數(shù)列{a_n}是單調遞減數(shù)列，而數(shù)列{S_n}在n≤3時單調遞增，n≥4時單調遞減．
D．若a₃+a₄＞0，則S₆＞0，而S₇=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a₄＜0，因此H₆有可能是數(shù)列{H_n}最大項．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式性質、不等式的性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．