Question

1．定義在R上的函數(shù)f（x）對任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），則當(dāng)1≤s≤4時，$\frac{t}{s}$的取值范圍是（　　）

• A． [-1，2]
• B． $[-1，\frac{1}{2}]$
• C． [-2，1]
• D． $[-\frac{1}{2}，1]$

Answer 1

分析 利用題意首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，據(jù)此脫去f符號，然后結(jié)合線性規(guī)劃相關(guān)知識即可求得目標函數(shù)的取值范圍．

解答 解：由已知條件知f（x）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于原點對稱；
∴由f（s²-2s）≤-f（2t-t²）得：
s²-2s≥t²-2t；
∴（s-t）（s+t-2）≥0；
以s為橫坐標，t為縱坐標建立平面直角坐標系；
不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（s-t）（s+t-2）≥0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域，如圖所示：

即△ABC及其內(nèi)部，其中 A（1，1），B（4，-2），C（4，4），
目標函數(shù) $z=\frac{t}{s}=\frac{t-0}{s-0}$表示坐標原點與平面區(qū)域內(nèi)的點連線的斜率，
據(jù)此可得目標函數(shù)在點B處取得最小值 $\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$，
在點A（C）處取得最大值1，
綜上可得$\frac{t}{s}$ 的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，1]$．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，線性規(guī)劃及其應(yīng)用等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中檔題．