Question

12．已知命題p：實數x滿足|ax+2|≥1，其中a＞0，命題q：實數x滿足log₃（x²-2x-2）≥0
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍
（Ⅱ）若q是￢p的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出關于p，q的不等式，根據p真q真，求出x的范圍即可；
（Ⅱ）問題轉化為￢p⇒q，q推不出￢p，求出a的范圍即可．

解答 解：由|ax+2|≥1，其中a＞0，
解得：x≥-$\frac{1}{a}$或x≤-$\frac{3}{a}$，
由log₃（x²-2x-2）≥0，
解得：x≥3或x≤-1；
（Ⅰ）a=1時，命題p：x≥-1或x≤-3，
由p∧q為真，得p真q真，
故x≥3或x≤-3，
即x∈（-∞，-3]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）若q是￢p的必要不充分條件，
則￢p能推出q，q推不出￢p，
故（-3，-1）?（-∞，-$\frac{3}{a}$]∪[-$\frac{1}{a}$，+∞），
故-1≤-$\frac{3}{a}$或-3≥-$\frac{1}{a}$，
解得：a≥3或a≤$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關系以及復合命題的判斷，是一道中檔題．