Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集為{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）若方程f（x）=2a有兩個(gè)相等正根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得ax²+（b+2）x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，可得

a＜0 1+3=- b+2 2 1×3= c a

，即

a＜0 b=-4a-2 c=3a

，代入ax²+bx+c=2a 整理，根據(jù)此方程的判別式△=0，求得a的值，可得b、c的值，從而求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由題意可得

a＜0 12a2-(4a+2)2 4a

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集為{x|1＜x＜3}．
故ax²+（b+2）x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，故有

a＜0 1+3=- b+2 2 1×3= c a

，整理可得

a＜0 b=-4a-2 c=3a

，
代入ax²+bx+c=2a 可得 ax²-（4a+2）x+a=0．
再根據(jù)此方程的判別式△=（4a+2）²-4a²=0，求得a=-1，或a=-

1

3

．
當(dāng)a=-1時(shí)，b=2，c=-3，此時(shí)，f（x）=-x²+2x-3，滿足條件．
當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，b=-

2

3

，c=-1，此時(shí)，f（x）=-

1

3

x²-

2

3

x-1，此方程有2個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，不滿足條件，故舍去．
綜上可得，f（x）=-x²+2x-3．
（Ⅱ）若f（x）=ax²-（4a+2）x+3a（a＜0）的最大值為正數(shù)，則有

a＜0 12a2-(4a+2)2 4a

，
求得a＜-2-

3

，或 0＞a＞-2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．