Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知動點P（x，y），PM⊥y軸，垂足為M，點N與點P關(guān)于x軸對稱，

OP

•

MN

=4．
（1）求動點P的軌跡W的方程；
（2）若點Q的坐標為（2，0），A、B為W上的兩個動點，且滿足QA⊥QB，點Q到直線AB的距離為d，求d的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出設(shè)點P的坐標，根據(jù)條件列方程，化簡．
（2）設(shè)出A、B的坐標，當(dāng)AB⊥x軸時，求出Q點到直線AB的距離，當(dāng)AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程，代入雙曲線方程，使用根與系數(shù)的關(guān)系及題中條件，先求出AB斜率，再求出Q點到直線AB的距離的表達式，判斷距離的最大值．

解答：解：（1）設(shè)點P（x，y），由已知M（0，y），N（x，-y）  （2分）
則

OP

•

MN

=(x，y)•(x，-2y)=x2-2y2=4，即

x2

4

-

y2

2

=1（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如圖，由QA⊥QB可得

QA

•

QB

=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0（5分）

①若直線AB⊥x軸，則x₁=x₂，|y1|=|y2|=

x 2 1 -4 2

此時(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)2-

x 2 1 -4

2

=0，
則x₁²-8x₁+12=0，解之得，x₁=6或x₁=2
但是若x₁=2，則直線AB過Q點，不可能有QA⊥QB
所以x₁=6，此時Q點到直線AB的距離為4（7分）
②若直線AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，則

y=kx+m x2-2y2=4

?（2k²-1）x²+4kmx+2m²+4=0
則

2k2-1≠0 △=16k2m2-4(2k2-1)(2m2+4)＞0

，即

2k2-1≠0 m2-4k2+2＞0

又x1+x2=-

4km

2k2-1

，x1x2=

2m2+4

2k2-1

（9分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

2k2m2+4k2

2k2-1

-

4k2m2

2k2-1

+

2k2m2-m2

2k2-1

=

4k2-m2

2k2-1

∴

QA

•

QB

=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂
=

2m2+4

2k2-1

+

8km

2k2-1

+

8k2-4

2k2-1

+

4k2-m2

2k2-1

=0
則m²+8km+12k²=0，可得m=-6k或m=-2k
若m=-2k，則直線AB的方程為y=k（x-2），此直線過點Q，這與QA⊥QB矛盾，舍
若m=-6k，則直線AB的方程為y=kx-6k，即kx-y-6k=0（12分）
此時若k=0，則直線AB的方程為y=0，顯然與QA⊥QB矛盾，故k≠0
∴d=

|-4k|

k2+1

=

4

1+ 1 k2

＜4（13分）
由①②可得，d_max=4（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法及直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．