Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線（為參數(shù)）上任意一點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），.（2）最大值,此時(shí)點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)伸縮坐標(biāo)關(guān)系，可求參數(shù)方程，利用消去參數(shù)；由，即可求直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)P用參數(shù)表示，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出P到直線的距離，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性，即可求解.

（1），

消去參數(shù)，得，

所以的普通方程為；

直線，

直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)，點(diǎn)到直線直線的距離為，

，

其中，

當(dāng)時(shí)，取得最大值為，

此時(shí)，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離的最大為.