Question

已知數(shù)列{a_n}中，，當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
(Ⅰ)證明：{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
(Ⅲ)若對(duì)任意n∈N*有λa₁a₂a₃…a_n≥1(λ∈N*)均成立，求λ的最小值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵數(shù)列{a_n}中，，
當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，，
即，
所以，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，
故
，
累加，得，
所以，。
 (Ⅲ)解：若對(duì)任意n∈N*有λa₁a₂a₃…a_n≥1(λ∈N*)均成立，
即在n∈N*時(shí)恒成立，
故需求在n∈N*上的最小值，
先證n∈N*時(shí)有，
顯然，左邊每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明對(duì)每個(gè)n∈N*，有
，
用數(shù)學(xué)歸納法證明上式，
(ⅰ)n=1時(shí)，上式顯然成立；
(ⅱ)假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，
即，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，


即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立；
故對(duì)一切n∈N*，
成立，
所以，


，
∵，
易知，
故，
而在n∈N*時(shí)恒成立且λ∈N*，
所以，λ的最小值為2。