Question

已知拋物線C：x²=2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)0的不同兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁⊥l₂，l₁與l₂相交于點(diǎn)D。
(Ⅰ)求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
(Ⅱ)證明：A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線；
(Ⅲ)假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，-1），問是否存在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且與l₁，l₂都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，清說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)解：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
l₁，l₂分別是拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線，
∴直線l₁的斜率為，直線l₂的斜率為，
∵，
∴，得，   ①
∵A，B是拋物線C上的點(diǎn)，
∴，
∴直線l₁的方程為，直線l₂的方程為，
由，解得：，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為。
 (Ⅱ)證法一：∵F為拋物線C的焦點(diǎn)，
∴，
∴直線AF的斜率為，
直線BF的斜率為，
∵

，
∴，∴A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線。
證法二：∵F為拋物線C的焦點(diǎn)，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線。
(Ⅲ)解：不存在，
證明如下：假設(shè)存在符合題意的圓，
設(shè)該圓的圓心為M，依題意，得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l₁⊥l₂，得AD⊥BD，
∴四邊形MADB是正方形，∴|AD|=|BD|，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，-1），∴，即p=2，
把點(diǎn)代入直線l₁，得，
解得：或，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）或，
同理可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）或，
由于A，B是拋物線C上的不同兩點(diǎn)，
不妨令，
∴，
，
∴|AD|≠|(zhì)BD|，這與|AD|= |BD|矛盾，
∴經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且與l₁，l₂都相切的圓不存在。