Question

已知函數(shù)在處取得極值.

(1)求實數(shù)的值；

(2)若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍；

(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.

 

Answer 1

【答案】

(1) a=1. （2）, (3) 利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，然后再利用單調性及數(shù)列知識證明即可

【解析】

試題分析：(1)                

時,取得極值,                

故解得經檢驗a=1符合題意. 

（2）由a=1知 由,得 

令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根.           

當時,,于是在上單調遞增; 

當時,,于是在上單調遞減.

依題意有,

解得,               

(3) 的定義域為,由(1)知,

令得,x=0或(舍去),  當時, ,單調遞增;

當時, ,單調遞減. 為在上的最大值.                        

,故(當且僅當x=0時,等號成立)

對任意正整數(shù)n,取得,  

.

故.

考點：本題考查了導數(shù)的運用

點評：導數(shù)本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數(shù)甚至是實際問題考查導數(shù)的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規(guī)方法和常見注意點