Question

17．已知A（1，3），B（5，-2），P為直線y=x上的點，如果|AP|-|BP|的絕對值最大，則P點的坐標為$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．

Answer 1

分析 如圖所示，設A′（a，b）為點A關于直線y=x的對稱點，利用$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{a-1}=-1}\\{\frac{a+1}{2}=\frac{b+3}{2}}\end{array}\right.$，解得A′（3，1），連接BA′并延長交直線y=x于點P，則點P滿足|AP|-|BP|的絕對值最大．下面先求出點P．直線BA′的方程為：$y-1=\frac{-2-1}{5-3}（x-3）$，與y=x聯(lián)立解得P$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．在直線y=x上任取一點P′，連接A′P′，P′B，P′A．利用||P′B|-|P′A′||≤|A′B|，即可證明．

解答 解：如圖所示，
設A′（a，b）為點A關于直線y=x的對稱點，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{a-1}=-1}\\{\frac{a+1}{2}=\frac{b+3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴A′（3，1），
連接BA′并延長交直線y=x于點P，則點P滿足|AP|-|BP|的絕對值最大．
下面先求出點P．
直線BA′的方程為：$y-1=\frac{-2-1}{5-3}（x-3）$，化為3x+2y-11=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{3x+2y-11=0}\end{array}\right.$，解得x=y=$\frac{11}{5}$，
∴P$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．
在直線y=x上任取一點P′，連接A′P′，P′B，P′A．
則|P′A|=|P′A′|，
則||P′B|-|P′A′||≤|A′B|，
∴點P滿足|AP|-|BP|的絕對值最大．
故答案為：P$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．

點評 本題考查了垂直平分線的性質、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、三角形三邊大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．