Question

過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）

A．

B．

C．3

D．

Answer 1

D

解析試題分析：由于線(xiàn)段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上，連接MF₂，則|MF₁|=|MF₂|="|PM|=" |PF₁|⇒△PF₁F₂為直角三角形，△PMF₂為等邊三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|="2c=" |MF₁|=2a⇒c= a，由c²=a²+b²可求得b= a，于是 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可求。解：連接MF₂，由過(guò)點(diǎn) PF₁作傾斜角為30°，線(xiàn)段PF₁的中點(diǎn)M落在y軸上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|=|PF₁|，∴△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形，∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a，∴c=a，又c²=a²+b²，∴3a²=a²+b²，∴b=a，∴雙曲線(xiàn)的離心率為故選 D．
考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)定義的靈活應(yīng)用
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，關(guān)鍵是對(duì)雙曲線(xiàn)定義的靈活應(yīng)用及對(duì)三角形△PMF₂為等邊三角形，△PF₁F₂為直角三角形的分析與應(yīng)用，屬于難題．