Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，直線l的方程為：

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)

①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點(diǎn)，求證：為定值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值為

【解析】

試題(1)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,可以看作是以長(zhǎng)為底邊，高為的等腰三角形，故面積為，從而可以列出等式，又由離心率得及，可解出，從而求出橢圓的方程 （2）直線和橢圓相交，其方程聯(lián)立方程組，消去，可得關(guān)于的二次方程，利用韋達(dá)定理可得，這就是相交弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出，把用坐標(biāo)表示出來(lái)，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可證明出定值

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>滿(mǎn)足，， 2分

，解得，，

則橢圓方程為.

（Ⅱ）（1）設(shè)，將代入并化簡(jiǎn)得

，

則是上述方程的解

，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得.

（2）由（1），，

，為定值