Question

2．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且點（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P（0，2）的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△AOB的面積最大時l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，以及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設過點P（0，2）的直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程，可得（1+3m²）y²+12my+9=0，運用韋達定理和弦長公式，再由點到直線的距離公式，求得三角形AOB的面積，結合基本不等式即可得到最大值，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²-b²=c²，
點（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）在橢圓C上，可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，
解方程可得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設過點P（0，2）的直線l的方程為x=my+2，
代入橢圓方程，可得（1+3m²）y²+12my+9=0，
判別式為144m²-36（1+3m²）＞0，即有m＞1或m＜-1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{12m}{1+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{9}{1+3{m}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{12m}{1+3{m}^{2}}）^{2}-\frac{36}{1+3{m}^{2}}}$=6$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{（1+3{m}^{2}）^{2}}}$，
由O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
則△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=6$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{（1+3{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=m²-1，（t＞0），即有S=6$\sqrt{\frac{t}{（3t+4）^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{9t+\frac{16}{t}+24}}$，
由9t+$\frac{16}{t}$≥2$\sqrt{9t•\frac{16}{t}}$=24，當且僅當t=$\frac{4}{3}$，即m=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$，取得等號，
即有△AOB的面積最大時l的方程為x=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$y+2．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式，考查直線和橢圓的位置關系，注意運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．