Question

如圖，某城市設(shè)立以城中心為圓心、公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城中心正東方向上有一條高速公路、西南方向上有一條一級(jí)公路，現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點(diǎn)A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓相切的直道．已知通往一級(jí)公路的道路每公里造價(jià)為萬(wàn)元，通往高速公路的道路每公里造價(jià)是萬(wàn)元，其中為常數(shù)，設(shè)，總造價(jià)為萬(wàn)元．

（1）把表示成的函數(shù)，并求出定義域；
（2）當(dāng)時(shí)，如何確定A點(diǎn)的位置才能使得總造價(jià)最低？

Answer 1

（1），定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/3/o7ub.png" style="vertical-align:middle;" /> ，（2）當(dāng)取，即A點(diǎn)在O東偏南的方向上，總造價(jià)最低．     16分

解析試題分析：（1）∵與圓O相切于A，
∴OA⊥，在中，，             2分
同理，                                  4分
∴，
∴，          6分
定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/3/o7ub.png" style="vertical-align:middle;" />                                8分
（2）
           11分
∵，∴，
∴                13分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，
又∵，∴，∴        15分
答：當(dāng)取，即A點(diǎn)在O東偏南的方向上，總造價(jià)最低．     16分
考點(diǎn)：本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題，主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理，提高邊角、角角轉(zhuǎn)化意識(shí)。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題也是轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)一步去求解