Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（4，0），動(dòng)點(diǎn)M在y軸上的正射影為點(diǎn)N，且滿足直線MO⊥NA．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)∠MOA=

π

6

時(shí)，求直線NA的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則N（0，y），

OM

=(x，y)，

NA

=(4，-y)，利用數(shù)量積公式建立等式，可的軌跡方程，注意限制條件；
（Ⅱ）當(dāng)∠MOA=

π

6

時(shí)，根據(jù)MO⊥NA，則∠NAO=

π

3

，從而直線AN的傾斜角為

π

3

或

2π

3

，即可求出直線NA的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），
則N（0，y），

OM

=(x，y)，

NA

=(4，-y)，
∵直線MO⊥NA，
∴

OM

•

NA

=4x-y2=0，
即y²=4x，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）；
（Ⅱ）當(dāng)∠MOA=

π

6

時(shí)，
∵M(jìn)O⊥NA，∴∠NAO=

π

3

．
∴直線AN的傾斜角為

π

3

或

2π

3

．
當(dāng)直線AN的傾斜角為

π

3

時(shí)，直線NA的方程為

3

x-y-4

3

=0，
當(dāng)直線AN的傾斜角為

2π

3

時(shí)，直線NA的方程為

3

x+y-4

3

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程，以及直線方程，解題中直線AN的傾斜角會(huì)漏解，考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．