Question

對于函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b（a，b為常數(shù)），使得對于區(qū)間D上的一切實(shí)數(shù)x都有f（x）≤g（x）成立，則稱函數(shù)g（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，設(shè)f（x）=2^x，g（x）=2x，若函數(shù)g（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，則n-m的最大值為

 

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Answer 1

分析：由題意知f（x）≤g（x）即-2^x≤2x在區(qū)間[m，n]上恒成立，在同一坐標(biāo)系中同時(shí)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，進(jìn)而可分析出滿足條件的區(qū)間，進(jìn)而得到答案．

解答：解：若函數(shù)g（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，
即f（x）≤g（x）在區(qū)間[m，n]上恒成立，
即-2^x≤2x在區(qū)間[m，n]上恒成立，
在同一坐標(biāo)系中同時(shí)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：
由圖可知，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤g（x）
此時(shí)n-m取得最大值1
故答案為：1

點(diǎn)評：本題是新定義題，考查函數(shù)恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力，對于恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理．