Question

如圖∠A=90°，∠B=α，AH=h，α，h為常數，AH⊥BC于H，∠AHE=∠AHD=x，問當x取何值時，△DEH的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：用正弦定理把，△DEH的面積用h，x，α，表示出來，再根據表達式選擇方法求最值．本題需要在兩三角形△AEH與△ADH中用正弦定理表示出EH與DH兩個邊．

解答：解：由已知∠EAH=

π

2

-α，∠DAH=α，∠HEA=π-x-（

π

2

-α）=

π

2

+α-x，同理∠ADH=π-α-x
由正弦定理

h

sin( π 2 +α-x)

=

EH

sin( π 2 -α)

即EH=

hcosα

cos(α-x)

同理可得DH=

hsinα

sin(α+x)

∴S=

1

2

×DH×EHsin2x=

1

2

×

hcosα

cos(α-x)

×

hsinα

sin(α+x)

×sin2x=

1

2

×h²×

1 4 sin2α

sin2α+sin2x 2

×sin2x
=

1

4

h²×（sin2α-

sin 22α

sin2α+sin2x

）
當sin2x=1時，即當x取

π

4

時，△DEH的面積最大為

1

4

h²×（sin2α-

sin 22α

sin2α+1

）
答：當x取

π

4

時，△DEH的面積最大為

1

4

h²×（sin2α-

sin 22α

sin2α+1

）

點評：本題考查用三角函數的性質求最值，考查了角的變換、正弦定理、三角形的面積公式，本題充分體現了三角函數解題的特點，公式多，變形靈活．